Czas obiegu zerowego satelity

[Hermes]

Witam,

  nawiązując do poprzedniego postu pt: "Pytanie wiertnika" proponuję tę zagadkę (a podobne pytania bywały m. in. na olimpiadach astronomicznych ).
  Dla formalności - "zerowym satelitą" nazywamy takiego satelitę, który krąży wokół swojej planety na zerowej wysokości (nad powierzchnią) - pomijamy ewentualny opór atmosfery i rozmiar tego satelity (chodzi tu głównie o sztuczne satelity)

  1.  Czas obiegu zerowego satelity Ziemi wynosi ok. 84.4 minut.  Jowisz ma średnicę ok. 11.1 razy większą od Ziemi, ale masę aż 318 razy większą.  Jaki będzie czas obiegu zerowego satelity Jowisza ? ???

  2. Na filmie "95 światów" (o księżycach planet US), puszczanym przez TV Discovery, kiedy jest mowa o Fobosie i Dejmosie, pada takie stwierdzenie:
  "...jeżeli mocno wyrzucimy kamień,  nie spadnie on na powierzchnie Fobosa, ale po ok. 20 minutach doleci do nas z drugiej strony..." (czyli po pełnym okrążeniu Fobosa).
  Czy podany czas obiegu kamienia wokół tego księżyca Marsa jest prawidłowy ?  (Jeśli nie, to ile powinien wynosić?) ???
 ( Dla ułatwienia przyjmijmy kulisty kształt Fobosa - średnica 22 km oraz jego masę = 1.08 x 10[sup]16[/sup] kg. )

  3.  Od czego głównie zależy czas obiegu zerowego satelity (planety, gwiazdy, etc...) ?  Od średnicy tego ciała niebieskiego, jego masy ? (może jeszcze od czegoś...) :o

  Odpowiedzi proszę podawać w tym wątku (nie na PW)

  Hermes

[Paweł Trybus]

No to spróbuję. 

Siłą napędową ruchu obrotowego jest siła dośrodkowa, która jest równa sile grawitacji:
Fd = Fg
Z II zasady dynamiki otrzymamy:
ma(d) = ma(g)
gdzie m to masa satelity (do uproszczenia), a(d) - przyspieszenie dośrodkowe, a(g) - przyspieszenie grawitacyjne

Z kolei: a(d) = w*w*R (omega kwadrat razy R, nie umiem poprawnie zapisać wzorów tymi znakami, które tu są dostępne)
w = 2pi/T - gdzie T - czas obiegu, w(omega) - prędkość kątowa

Teraz drugie przyspieszenie:
a(g) = GM/R*R - gdzie G to stała grawitacji (6,6742*10(do potęgi minus 11)N*m*m/kg*kg)

Zatem: w*w*R = GM/R*R
            w = pierwiastek(GM/R*R*R) ==>  2pi/T = pierwiastek(GM/R*R*R)
A stąd ostatecznie T = pierwiastek(4pi*pi*R*R*R/GM)

Odpowiedź na pytanie 3: czas obiegu zerowego satelity zależy od promienia (planety, gwiazdy) i jej masy. Pozostałe wielkości we wzorze są stałe, zatem czas od nich nie zależy.

Odpowiedź na pytanie 1: wiemy, że dla Ziemi Tz = 84,4min, oraz że Rj = 11,1R i Mj = 318M
Podstawiając do wzoru na czas obiegu i wyciągając współczynniki dostajemy:
Tj = pierwiastek(11,1*11,1*11,1/318)*Tz = 2,074Tz = 175 minut

Odpowiedź na pytanie 2: to nieprawidłowy czas! Po podstawieniu danych (masa i promień Fobosa) do wzoru na czas obiegu otrzymamy odpowiedź Tf = 142 minuty

[SSW]

Zaskakujące jest to, że pomimo tak znacznie rózniących się masą i rozmiarami ciał okresy obiegu satelity zerowego nie różnią się od siebie znacznie. 

[Paweł Trybus]

Z ciekawości podstawiłem dane dla Słońca (za Wikipedią - Rs = 109R, Ms = 333950M)

Ts = 166 minut    Wciąż podobny rząd wielkości!

Trzeba by gwiazdy neutronowej, żeby dużą różnicę zobaczyć  ;D Przy założeniu, że Rn = 10 km a Mn = 2Ms czas obiegu wynosi...

Tn = 0,000385 sek  :o

[SSW]

Cały sekret tkwi w gęstoćsi r = M/V ~ M/R[sup]3[/sup] 

[Paweł Trybus]

Masz rację, możnaby nieco zmodyfikować odpowiedź na pytanie 3 - czas obiegu zerowego satelity zależy "matematycznie" od masy i promienia ciała obieganego, a "fizycznie" - od gęstości tegoż. 

[Hermes]

Witam,

Odpowiedź na pytanie 1: wiemy, że dla Ziemi Tz = 84,4min, oraz że Rj = 11,1R i Mj = 318M
Podstawiając do wzoru na czas obiegu i wyciągając współczynniki dostajemy:
Tj = pierwiastek(11,1*11,1*11,1/318)*Tz = 2,074Tz = 175 minut

Odpowiedź na pytanie 2: to nieprawidłowy czas! Po podstawieniu danych (masa i promień Fobosa) do wzoru na czas obiegu otrzymamy odpowiedź Tf = 142 minuty

  Wyniki dokładne !!

Cały sekret tkwi w gęstoćsi r = M/V ~ M/R[sup]3[/sup] 

  tak jest !! - tu rację ma SSW !

  Czas obiegu zerowego satelity zależy tylko od gęstości danego ciała !! :o

  Łatwo to obliczyć:

  T[sub]x[/sub]  =  pierwiastek ( r[sub]z [/sub]/r[sub]x[/sub] ) * T [sub]z[/sub]

  Jeśli więc gęstość takiego ciała będzie 4-krotnie mniejsza od gęstości Ziemi, to czas obiegu zerowego satelity będzie 2 razy dłuższy. 

  Jest to wynik zaskakujący - czas obiegu takiego satelity wokół Ziemi i planetoidy o średnicy 1 km i gęstości 5.5 g/cm[sup]3[/sup] będzie identyczny;  podobnie czas takich satelitów dla Jowisza i Słońca jest podobny.
  Zatem najkrótszy czas obiegu w US (z planet) ma Ziemia i Merkury, najdłuższy - Saturn.

  Łatwo wykryć rażące błedy w filmach SF, jeśli będzie mowa o jakiś planetach, a czas obiegu sondy będzie wyraźnie inny niż dla planet grupy ziemskiej czy planet gazowych.  ;D

  Dziękuje za udział w zabawie 

  Hermes